Мрежовите оптимизационни модели обикновено са частни случаи на модели на линейното програмиране и на така наречените разпределителни задачи. Мрежата е удобен апарат както за достатъчно прозрачно изобразяване и записване на модела, така и за конструиране на достатъчно ефективни методи за решаването на оптимизационните задачи, като се използва съответния математически апарат.
Някои понятия – записани са минималното количество понятия, необходими за описание и формулиране на мрежови модели.
Мрежа. Дадени са n точки ( възли, върхове ) номерирани с целите числа от 1 до n.Някои от точките са свързани с ориентирани дъги – ориентираната дъга , излизаща от точка i и влизаща в точка j се означава с (i,j). Между две точки i и j съществува само една дъга (i,j). За всяка точка i има поне една излизаща от точката или влизаща в точката дъга . Точките от които само излизат дъги се наричат начални (начала ), а тези в които само влизат дъги – крайни ( краища ). В математиката такъв обект се нарича ориентиран граф. Важен частен случай е граф с n точки и n -1 дъги, една начална точка и една входяща дъга за всяка точка , освен началната. Такъв граф се нарича дърво.
Път – това е редица от “закачени” една за друга дъги, водещи от точка i до точка j. Закачени една за друга значи, че дъгите в редицата започват в точката, в коqто свършва предната. Когато началната точка на пътя съвпада с крайната , този път се нарича цикъл (контур) . Граф без цикли се нарича ацикличен.
Ако разглеждаме графа като неориентиран т.е. не отчитаме ориентацията на дъгата , дъгите на графа се наричат ребра и те нямат ориентация. Редица от “закачени” едно за друго ребра, водещи от точка i до точка j се наричат верига. Не всяка верига е път !!! Ако за всеки две точки на даден граф съществува поне една верига, която ги свързва, такъв граф се нарича свързан граф ( мрежа ).
Болшинството от интересните приложения се описват с мрежови модели върху свързани , ациклични графи ( мрежи ).
Единичен поток по дъга. Нека по дъгата (i,j) от точка i до точка j се премества някакъв обект. Ако неговата количествена мярка при някакъв начин на измерване е единица, наричаме го единичен поток. Това понятие позволява мрежата да се опише с така наречената инцидентна матрица . Всяка точка на мрежата се представя с ред на матрицата, а всяка дъга – със стълб. Посоката на единичния поток по дъгата (i,j) се записва в нейния стълб с единица в реда съответствуващ на точка i и минус единица в реда съответствуващ на точка j .
Чист поток ( наличност ) в точка. За всяка точка i се задава число Ti – положително, отрицателно или нула, наречено наличност в точката. Точките с положителна наличност се наричат източници ( плюс точки ), тези с отрицателна наличност – приемници ( минус точки ), а тези с нулева наличност – междинни. Ti е количество поток, който точката произвежда ако числото е положително и количество поток, който точката иска ( консумира ) ако числото е отрицателно .
Поток в мрежа. Източниците генерират поток, който протича по дъгите ( в посоката им ) , евентуално преминава през междинни точки и попада в приемниците. Нека потока , който протича през дъгата (i,j) е xij . Очевидно xij ≥ 0 . За xij може да се зададе и число uij, което ограничава пропусквателната способност на дъгата, т.е. 0 ≤ xij ≤ uij .
Тази интерпретация – потока тече от плюс точките към минус точките изисква да се поставят допълнителни изисквания към мрежата . Ясно е , че за да протече някакъв поток трябва да има поне един път от плюс точка към минус точка . Най-добре е ако за всяка плюс точка има поне един път водещ до минус точка, а за всяка минус точка има поне един път до нея, започващ в плюс точка. Количествена мярка на общия поток , който ще протече в мрежата се определя от тези изисквания ( ще предполагаме , че те са изпълнени ) и от числата S – сума на всички положителни Ti и D – сума на абсолютните стойности на всички отрицателни Ti.
Балансирана мрежа. Ако S= D мрежата се нарича балансирана . За балансирана мрежа са верни следните балансови уравнения:
за всяка точка от мрежата. Това уравнение има много прост смисъл – ако Ti е положително , от точката трябва да излиза поток с Ti единици по-голям от този, който влиза и обратно при отрицателно Ti .
Екстремални задачи за балансирана мрежа.
Ако означим с cij разходите за транспортиране на единица поток по дъгата (i,j) един общ оптимизационен мрежов модел с многобройни приложения.
Тук сумирането във целевата функция е по всички двойки (i,j) за които съществува дъгата (i,j). Целевата функция е линейна. Ограниченията са балансовите уравнения и ограниченията за управляващите променливи xij.
За такава задача е верно следното твърдение :
ако Ti и uij са цели числа стойността на функционала не нараства , ако се добави изискването xij да са цели.
И така:
за балансираната линейна задача числата uij и cij, както и управляващите променливи xij са толкова на брой, колкото са дъгите на мрежата. Балансовите уравнения са толкова на брой, колкото са точките на мрежата. Различни мрежови се получават при различни линейни функционали и допълнителни изисквания.
Екстремални задачи за небалансирана мрежа.
Ако S ≠ D мрежата е небалансирана. Ако S < D източниците генерират по-малък поток от искания и значи някои от приемниците няма да получи цялото искано количество. По мрежата ще протече поток S .Ако S > D източниците могат да генерират по-голям поток от искания и значи някои от източниците няма да намерят приемници за цялото генерирано от тях количество. По мрежата ще протече поток D. И в двата случая не могат да се изпълнят всички балансови уравнения и част от тях трябва да се заменят с неравенства.
Можете да разширите знанията си за Интернет технологиите, и да научите за уеб дизайн технологиите и изработката на сайтове. Прочетете за уеб дизайн услугите и как те се определят според Интернет нуждите на клиентите.
Ако S < D всички балансови уравнения за които Ti е отрицателно се умножават с минус единица и равенството се заменя с неравенство ” ≤ ”.
Ако S > D във всички балансови уравнения за които Ti е положително равенството се заменя с неравенство ” ≤ ”.
Друг начин за преобразуване на задачата е балансирането и, като се въвеждат допълнителна точка и дъги в мрежата – фалшив източник или приемник. Това се прави така:
Ако S < D се добавят към мрежата точка с номер n+1 ( източник ) с положителна наличност D- S и дъги, излизащи от точката с номер n+1
към всички точки с отрицателна наличност . За тези дъги се полага cij=0, uij=∞.
Така задачата става балансирана, функционала не се променя, добавят се нови променливи , на брой толкова , колкото са точките с отрицателна наличност , променят се балансовите уравнения в тези точки и се добавя балансово уравнение за точката с номер n+1.
Ако S > D се добавят към мрежата точка с номер n+1 ( приемник ) с отрицателна наличност D- S и дъги, насочени към точката с номер n+1
от всички точки с положителна наличност . За тези дъги се полага cij=0, uij=∞.
Така задачата става балансирана, функционала не се променя, добавят се нови променливи , на брой толкова , колкото са точките с положителна наличност , променят се балансовите уравнения в тези точки и се добавя балансово уравнение за точката с номер n+1.
Уеб дизайн и SEO оптимизация
След като научихте за уеб дизайн и изработката на Интернет сайтове, ако все още ви влече тази материя, вижте и за популяризирането на уеб сайтовете в Интернет, което става благодарение на SEO оптимизацията и Search Engine Маркетинга, рекламата в уеб сайтове и портали. Прочетете подробности за така наречената SEO оптимизация, за какво служи тя и как оптимизирането на сайтовете помага за посещаемостта им. За съвременната SEO оптимизация на сайтове и нейните специфики, които са необходими за съвременното Интернет потребление, също може да прочетете подробности преди да започнете своята работа по Интернет мрежите в статията SEO оптимизация на сайтове (Search Engine Optimization) в 21 век и Интернет потреблението днес.
Натуралистична представа за поток.
Крайно състояние след протичане на потока – нулева наличност във всички точки.
БАЛАНСИРАНА транспортна задача.
Три производителя, 4 потребителя, таблица на транспортните разходи, производство и потребление. Стандартна форма на задачата – всеки производител може да доставя на всеки потребител.
ipotpal 